整數表示為分數和可以追溯到3000多年前古埃及的數學問題，古埃及密切相關的分數至今仍引起數學家的好奇20世紀80年代，著名數學家鄂爾多斯·帕爾猜測，任何一組足夠大的整數都可以通過對它們的倒數求和而最終組合在一起，但他并沒有證明自己的猜想最近，這個40年的猜想得到了解答

古埃及樂譜

比較好操作古埃及人在計算時似乎需要分數表的幫助，這在上述古籍中也占有一定的篇幅

該樂譜被稱為古埃及樂譜。當然，每一個分數都可以拆分成古埃及分數的總和，因為

個人

滿足

，我們可以借用上面的例子。

不是更大嗎。

滿足

因此

，這就矛盾了，它們是不同的素數，說明上面的等式不存在為什么會這樣素數的集合還不夠大嗎

等勢，包括質數的集合但就上面提到的問題來看，素數集顯然不夠大那么我們需要定義一個新的大小概念

它是奇數或偶數，它是普通的或偶數，只要它只包含我們需要的幾個數字其實這和概率的觀點不謀而合:隨手抓一把，如果比例足夠大，就更有可能抓到符合要求的數字

被隨機抽取的概率是

它被稱為自然密度但是這個極限并不總是收斂的，所以一般使用上限

稱為密度上限和下限。

足夠的時間

那一部分呢對此，兩位數學家大膽提出了一個猜想

把古埃及的分數問題分解成，用上面的符號，可以分為兩個版本:

">

。

。

它們中至少有一個的自然密度大于零所以如果證明了后一個問題，也就證明了前一個問題這種雙重質疑并非無中生有在數論中，每一個涉及染色的命題都對應著一個涉及自然密度的命題:雖然證明了前一個問題無法推導出后一個問題，但所使用的方法可以引導我們走得更遠

尋找解析數論的新方法

但即使證明第一個問題也不容易這種涉及加法的數論研究一般稱為加法數論或堆數論這個分支相信很多數學愛好者都有所耳聞，因為中國解析數論學派的代表人物華，陳景潤等人在這方面做出了巨大的貢獻羅庚還寫了《堆素數論》這本書，著名的哥德巴赫猜想也屬于這一領域

對于加法數論的大部分問題，常見的初等方法甚至代數方法都相繼失效，只剩下解析數論解析數論就是把數論的問題轉化為一個函數或積分的估計這也是加法數論對外國人來說太抽象的原因:明明是數論問題，證明過程卻全是積分和估計公式

鄂爾多斯和葛立恒的猜想也是如此鄂爾多斯于1996年去世他未婚，沒有孩子留給人類的論文只有1525篇，因此他成為發表論文數量最多的數學家直到生命的最后，他也沒有看到自己的猜想得到證實幾年后的2003年，歐內斯特·克魯特的論文發表，證明了猜想的第一個問題值得一提的是，早在2000年，克魯特就在其博士論文中證明了這一結論克魯特介紹了一種強大的諧波分析方法，優雅而巧妙這讓學界對這顆新星充滿期待

所謂和諧，在物理學中一般翻譯為調和更神奇的是，傅立葉級數和傅立葉積分可以用來估計數論中的一些函數，將調和分析與解析數論緊密聯系起來此后，這兩個學科相互支撐，在20世紀現代數學的抽象大潮下迅速發展

但是面對第二個問題，克魯特的巧妙方法失敗了無論他如何擺弄現有的工具，他都無法取得更大的進步從此，克魯特轉向了其他問題的研究，我們的猜想停滯了二十年到了2020年，葛立恒因病去世，他看不到自己猜想的解

轉機發生在2021年9月的一天，牛津大學的博士后托馬斯·布魯姆接到一項任務，要他向他們的討論組解釋克魯特20年前的論文在準備的過程中，布魯姆突然有了一個靈感——克魯特的方法并沒有走到盡頭！他立即著手工作

二十年來，雖然猜想沒有進展，但調和分析等前沿數學并沒有停止現在，布魯姆手里有了更多的工具他采用了更先進的組合數論/解析數論技術，改進了克魯特的方法，最終在幾個月內完成了證明

去做吧也就是說，序列不一定要收斂，只需要在一個正數附近無限振蕩這是一個非常杰出的成就雖然只是掛在預印本網站上，還沒有正式發表，但是已經得到了很多數學家的認可

沒有一個集合符合要求。

更多的新問題會把我們引向何方讓我們拭目以待

參考

Erds和格雷漢姆:組合數論中的新舊問題和結果Enseign數學

歐內斯特·克魯特，三世 "關于單位分數的一個著色猜想 "數學年鑒157:545–556arXiv:數學NT/0311421土井:10.4007/年報2003.157.545先生1973054

喬丹娜·切佩列維奇數學‘有史以來最古老的問題’有了新的答案廣達雜志檢索時間是2022年3月9日